【贪心】耍杂技的牛

题目

125. 耍杂技的牛 - AcWing题库

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农民约翰的 $N$ 头奶牛（编号为 $1..N$ ）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$ 。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 $N$ ，表示奶牛数量。

接下来 $N$ 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$ 。

输出格式

输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

$1 \le N \le 50000$ ,
$1 \le W_i \le 10,000$ ,
$1 \le S_i \le 1,000,000,000$

输入样例：

3
10 3
2 5
3 3

输出样例：

2

解题

方法一：贪心算法

思路

贪心策略

把所有牛以 $W_i + S_i$ 从小到大的顺序从上排到下。

证明

如果有位置相邻的两头牛($k$ 与 $k+1$)没有遵循 $W_i + S_i$ 升序的顺序来排序，也即：$W_k + S_k > W_{k + 1} + S_{k + 1}$，那么此时：

• 在 $k$ 位置的牛的风险值为：$W_1 + W_2 + \dots -S_k$。
• 在 $k+1$ 位置的牛的风险值为：$W_1 + W_2 + \dots + W_i -S_{k+1}$。

交换它俩的位置（即为遵循$W_i + S_i$ 升序的顺序）：

• 在 $k$ 位置的牛的风险值为：$W_1 + W_2 + \dots - S_{k+1}$。
• 在 $k + 1$ 位置的牛的风险值为：$W_1 + W_2 + \dots + W_{k + 1} - S_{k}$。

把所有数减去 $W_1 + W_2 + \dots + W_{k-1}$ 并加上 $S_k + S_{k+1}$ 会得到：

• 在 $k$ 位置的牛的风险值变化：$S_{k + 1} \longrightarrow S_k$。
• 在 $k + 1$ 位置的牛的风险值变化：$W_k + S_k \longrightarrow W_{k + 1} + S_{k + 1}$。

联立条件中的不等式可得到关系：$S_{k+1} ?? S_k ?? W_{k + 1} + S_{k + 1} < W_k + S_k$。

在 $k$ 位置的牛的风险值变化无法确定是变大还是变小，但我们只关心最大风险值的变化，所以发现在交换了位置之后最大风险值 $W_k + S_k$ 变成了 $W_{k + 1} + S_{k + 1}$ ，明显地变小了。

故可以得出结论：在逐渐减小最大风险值的过程中，牛的顺序必定会向 $W_i + S_i$ 升序的顺序靠拢。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[][] a = new int[n][2];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i][0] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            a[i][1] = (int) in.nval;
        }
        Arrays.sort(a, (x, y) -> x[0] + x[1] - (y[0] + y[1]));
        int sum = a[0][0], mx = -a[0][1];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            mx = Math.max(mx, sum - a[i][1]);
            sum += a[i][0];
        }
        System.out.println(mx);
    }
}