【动态规划】01背包问题

题目

2. 01背包问题

---

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i, w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N, V \le 1000$
$0\lt v_i, w_i \le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

解题

方法一：动态规划

思路

思维过程：

动态规划：

• 状态定义：$dp[i][j]$ 表示所有只考虑前 $i$ 个物品，且总体积不大于 $j$ 的所有选法中能得到的最大价值。
• 状态转移方程：$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - v[i]] + w[i])$（$v[i] \le j$）。
• 初始状态：只考虑前 $0$ 个物品的时候没有物品可选，最大价值一定是 $0$。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1],  w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][c + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = 0; j <= c; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (vi <= j) dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - vi] + wi);
            }
        }
        System.out.println(dp[n][c]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, c;
int v[N], w[N], dp[N][N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int vi = v[i], wi = w[i];
        for (int j = 0; j <= c; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (vi <= j) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - vi] + wi);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][c]);
    
    return 0;
}

滚动数组优化

每次状态转移只用到了上一行的数据，可以进行滚动数组优化：

x ^ 1 可以把 $0$ 变 $1$， 把 $1$ 变 $0$，相当于 1 - x。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1],  w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[2][c + 1];
        int curr = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = 0; j <= c; ++j) {
                dp[curr][j] = dp[curr ^ 1][j];
                if (vi <= j) dp[curr][j] = Math.max(dp[curr][j], dp[curr ^ 1][j - vi] + wi);
            }
            curr ^= 1;
        }
        System.out.println(dp[curr ^ 1][c]);
    }
}

滚动数组再优化

每次状态转移时都只会用到上一次比 $j$ 小的列，所以可以从后向前迭代用新的状态来覆盖旧状态。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] v = new int[n + 1],  w = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            v[i] = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            w[i] = (int) in.nval;
        }
        int[] dp = new int[c + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int vi = v[i], wi = w[i];
            for (int j = c; j >= vi; --j) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - vi] + wi);
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, c;
int v[N], w[N], dp[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int vi = v[i], wi = w[i];
        for (int j = c; j >= vi; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - vi] + wi);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[c]);
    
    return 0;
}