【染色法判二分图, 二分查找】关押罪犯

题目

257. 关押罪犯 - AcWing题库

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$S$ 城现有两座监狱，一共关押着 $N$ 名罪犯，编号分别为 $1 \sim N$ 。

他们之间的关系自然也极不和谐。

很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。

我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。

如果两名怨气值为 $c$ 的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为 $c$ 的冲突事件。

每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到 $S$ 城 $Z$ 市长那里。

公务繁忙的 $Z$ 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。

在详细考察了 $N$ 名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。

他准备将罪犯们在两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。

假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。

那么，应如何分配罪犯，才能使 $Z$ 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？

输入格式

第一行为两个正整数 $N$ 和 $M$ ，分别表示罪犯的数目以及存在仇恨的罪犯对数。

接下来的 $M$ 行每行为三个正整数 $a_j，b_j，c_j$ ，表示 $a_j$ 号和 $b_j$ 号罪犯之间存在仇恨，其怨气值为 $c_j$ 。

数据保证 $1 \le a_j < b_j < N,0 < c_j \le 10^9$ 且每对罪犯组合只出现一次。

输出格式

输出共 $1$ 行，为 $Z$ 市长看到的那个冲突事件的影响力。

如果本年内监狱中未发生任何冲突事件，请输出 $0$ 。

数据范围

$N \le 20000, M \le 100000$

输入样例：

4 6
1 4 2534
2 3 3512
1 2 28351
1 3 6618
2 4 1805
3 4 12884

输出样例：

3512

解题

方法一：DFS 二分查找

思路

首先看到这题是「使最大值最小」的问题就可以先考虑二分查找，找这题可以用来二分的性质。

我们发现答案的大小是由两个监狱 内部 最大的边权决定的。设当前二分到的答案为 $x$ ，那么如果要让 $x$ 成为合法解，就要让边权大于 $x$ 的边都 位于两个监狱之间而非之内 。也就是说，判断 $x$ 是否合法的方法是：只考虑所有边权大于 $x$ 的边，判断图是否为二分图。

判二分图可以用染色法。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static int n, m;
    static int[] h, e, w, ne;
    static int idx;
    static int[] colors;
    
    static void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        w[idx] = c;
        ne[idx] = h[a];
        h[a] = idx++;
    }
    
    static boolean dye(int u, int c, int m) {
        colors[u] = c;
        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (w[i] <= m) continue; // 忽略边权小于等于m的边
            if (colors[v] == 0 && !dye(v, 3 - c, m) || colors[v] == c) return false;
        }
        return true;
    }
    
    static boolean check(int m) {
        Arrays.fill(colors, 0);
        for (int u = 1; u < n; ++u) {
            if (colors[u] == 0 && !dye(u, 1, m)) return false;
        }
        return true;
    }
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        m = (int) in.nval;
        h = new int[n + 1];
        Arrays.fill(h, -1);
        e = new int[m * 2];
        w = new int[m * 2];
        ne = new int[m * 2];
        colors = new int[n + 1];
        int l = 0, r = 0;
        while (m-- > 0) {
            in.nextToken();
            int a = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int b = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int c = (int) in.nval;
            add(a, b, c);
            add(b, a, c);
            r = Math.max(r, c);
        }
        while (l < r) {
            int m = l + r >> 1;
            if (check(m)) r = m;
            else l = m + 1;
        }
        System.out.println(l);
    }
}