【动态规划, LIS, LCS】最长公共上升子序列「动态规划之LIS模型」

题目

272. 最长公共上升子序列 - AcWing题库

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熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 $A$ 和 $B$ ，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 $A$ 和 $B$ 的长度均不超过 $3000$ 。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$ ，表示数列 $A，B$ 的长度。

第二行包含 $N$ 个整数，表示数列 $A$ 。

第三行包含 $N$ 个整数，表示数列 $B$ 。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

$1 \le N \le 3000$ ,序列中的数字均不超过 $2^{31}-1$ 。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

解题

方法一：动态规划 前缀和

思路

注意：以下分析均基于两字符串下标从 $1$ 开始。

思维过程：

动态规划：

• 状态定义：$f[i][j]$ 表示由字符串 $A$ 中前 $i$ 个字符与字符串 $B$ 中前 $j$ 个字符构成，且以 $B[j]$ 结尾的公共上升子序列的最长长度。
• 状态转移方程：$f[i][j] = \begin{cases} f[i-1][j] & A[i] \neq B[j] \\ \max(f[i-1][j], f[i-1][k]), \,\, k \in [1, j-1] & A[i] = B[j] \end{cases}$ 。
• 初始状态：进行第一次状态转移前，所有位置的公共上升子序列的最大长度均为 $1$ 。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[] a = new int[n + 1], b = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i] = (int) in.nval;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            b[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] f = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if (a[i] == b[j]) {
                    for (int k = 1; k < j; ++k) {
                        if (b[k] < b[j]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][k] + 1);
                    }
                }
            }
        }
        int mx = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) mx = Math.max(mx, f[n][i]);
        System.out.println(mx);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 3010;
int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &b[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int mx = 1;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (b[j] < a[i]) mx = max(mx, f[i - 1][j] + 1);
            else if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], mx);
        }
    }
    int mx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) mx = max(mx, f[n][i]);
    printf("%d\n", mx);

    return 0;
}

优化

上面的代码时间复杂度是 $O(n^3)$ ，很明显会超时。

我们发现，只有在 $a[i] = b[j]$ 时，才会进入第三层循环。把循环中的所有 $b[j]$ 都换为 $a[i]$ 就得到了：

if (a[i] == b[j]) {
    for (int k = 1; k < j; ++k) {
        f[i][j] = Math.max(f[i][j], 1);
        if (b[k] < a[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][k] + 1);
    }
}

该循环的含义是：从 $1 \sim j-1$ 中找到满足 $b[k] < a[i]$ 的 $f[i-1][k]$ 的最大值，其中的条件 $b[k] < a[i]$ 是与 $j$ 无关的，故可以尝试把 $k$ 换成 $j$ 来把这一层循环提到外层用一个变量 mx 来维护，这样做时，由于枚举 $j$ 的顺序是由 $1 \dots n$ 正向枚举的，所以 $b[j] < a[i]$ 总是在 $a[i] = b[j]$ 之前成立，也就是说当 $a[i] = b[j]$ 成立时， mx 一定是「 $k \in [1, j-1]$ 时满足 $b[k] < a[i]$ 的 $f[i-1][k]$ 的最大值」，证明了可以把求最大值的循环放到外层循环来做，时间复杂度降为 $O(n^2)$ 。

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[] a = new int[n + 1], b = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            a[i] = (int) in.nval;
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            b[i] = (int) in.nval;
        }
        int[][] f = new int[n + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int mx = 1;
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if (b[j] < a[i]) mx = Math.max(mx, f[i - 1][j] + 1);
                else if (a[i] == b[j]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], mx);
            }
        }
        int mx = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) mx = Math.max(mx, f[n][i]);
        System.out.println(mx);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 3010;
int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &b[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int mx = 1;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (b[j] < a[i]) mx = max(mx, f[i - 1][j] + 1);
            else if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], mx);
        }
    }
    int mx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) mx = max(mx, f[n][i]);
    printf("%d\n", mx);

    return 0;
}