【扩展欧几里得算法】线性同余方程

题目

878. 线性同余方程 - AcWing题库

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给定 $n$ 组数据 $a_i,b_i,m_i$ ，对于每组数求出一个 $x_i$ ，使其满足 $a_i \times x_i \equiv b_i \pmod {m_i}$ ，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 。

接下来 $n$ 行，每行包含一组数据 $a_i,b_i,m_i$ 。

输出格式

输出共 $n$ 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x_i$ ，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 $int$ 范围之内。

数据范围

$1 \le n \le 10^5$ ,
$1 \le a_i,b_i,m_i \le 2 \times 10^9$

输入样例：

2
2 3 6
4 3 5

输出样例：

impossible
-3

解题

方法一：扩展欧几里得算法

思路

详细推导及证明见：线性同余方程 - 用扩展欧几里得算法求解。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static int x, y;
    
    static int exgcd(int a, int b) {
        if (b == 0) {
            x = 1; y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b);
        int t = x;
        x = y;
        y = t - a / b * y;
        return d;
    }
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        while (n-- > 0) {
            in.nextToken();
            int a = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int b = (int) in.nval;
            in.nextToken();
            int m = (int) in.nval;
            int d = exgcd(a, m);
            if (b % d != 0) System.out.println("impossible");
            else System.out.println(1L * x * (b / d) % m);
        }
    }
}