【动态规划】分组背包问题

题目

9. 分组背包问题

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有 $N$ 组物品和一个容量是 $V$ 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 $v_{ij}$ ，价值是 $w_{ij}$ ，其中 $i$ 是组号， $j$ 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 $N，V$ ，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 $N$ 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 $S_i$ ，表示第 $i$ 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij}, w_{ij}$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 个物品组的第 $j$ 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N, V \le 100$
$0 \lt S_i \le 100$
$0 \lt v_{ij}, w_{ij} \le 100$

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

解题

方法一：动态规划

思路

思维过程：

动态规划：

• 状态定义：$dp[i][j]$ 表示所有只考虑前 $i$ 组物品，且总体积不大于 $j$ 的所有选法中能得到的最大价值。
• 状态转移方程：$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - v[i][k]] + w[i][k])$（$v[i][k] \le j$）。
• 初始状态：只考虑前 $0$ 个物品的时候没有物品可选，最大价值一定是 $0$。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static final int N = 110;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        in.nextToken();
        int c = (int) in.nval;
        int[] s = new int[n + 1];
        int[][] v = new int[n + 1][N], w = new int[n + 1][N];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            int si = (int) in.nval;
            s[i] = si;
            for (int j = 0; j < si; ++j) {
                in.nextToken();
                v[i][j] = (int) in.nval;
                in.nextToken();
                w[i][j] = (int) in.nval;
            }
        }
        int[] dp = new int[c + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            int si = s[i];
            for (int j = c; j >= 0; --j) {
                for (int k = 0; k < si; ++k) {
                    if (v[i][k] <= j) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j -v[i][k]] + w[i][k]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;
int n, c;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int dp[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &s[i]);
        for (int j = 0; j < s[i]; ++j) {
            scanf("%d%d", &v[i][j], &w[i][j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int si = s[i];
        for (int j = c; j >= 0; --j) {
            for (int k = 0; k < si; ++k) {
                if (v[i][k] <= j) dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[c]);
    
    return 0;
}