【贪心】均分纸牌

题目

P1031 均分纸牌

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题目描述

有 $N$ 堆纸牌，编号分别为 $1,2,\ldots,N$。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 $N$ 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 $1$ 堆上取的纸牌，只能移到编号为 $2$ 的堆上；在编号为 $N$ 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 $N-1$ 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 $N=4$ 时，$4$ 堆纸牌数分别为 $9,8,17,6$。

移动 $3$ 次可达到目的：

• 从第三堆取 $4$ 张牌放到第四堆，此时每堆纸牌数分别为 $9,8,13,10$。
• 从第三堆取 $3$ 张牌放到第二堆，此时每堆纸牌数分别为 $9,11,10,10$。
• 从第二堆取 $1$ 张牌放到第一堆，此时每堆纸牌数分别为 $10,10,10,10$。

输入格式

第一行共一个整数 $N$，表示纸牌堆数。
第二行共 $N$ 个整数 $A_1,A_2,\ldots,A_N$，表示每堆纸牌初始时的纸牌数。

输出格式

共一行，即所有堆均达到相等时的最少移动次数。

样例 #1

样例输入 #1

4
9 8 17 6

样例输出 #1

3

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le N \le 100$，$1 \le A_i \le 10000$。

【题目来源】

NOIP 2002 提高组第一题

解题

方法一：贪心

思路

由于每一堆牌只能向其左右相邻的牌堆移动，那么不妨对于每堆牌只考虑向右操作（因为向左/向右操作是可以互换的，例如：$A_1 \xrightarrow{3} A_2$ 等同于 $A_1 \xleftarrow{-3} A_2$），如果按照这种规律操作牌堆，对于每堆牌 $A_i$ ，如果 $A_i < avg(=\frac{\sum_{i=1}^{N}{A_i}}{N})$ 就向右借 $avg - A_i$ 张牌，如果 $A_i > avg$ 就向右放 $A_i - avg$ 张牌，例：

\begin{align} 初始：A &= \{1 \qquad 1 \qquad 7\} \\ 第一次操作：A &= \{3 \xleftarrow{2} -1 \quad\enspace\, 7\} \\ 第二次操作：A &= \{3 \qquad 3 \:\xleftarrow{4}\: 3\} \end{align}

在上面的例子中我们发现在操作的过程中可能会有牌堆的牌数变为负数，而这样的操作是不合法的，但是不用担心，可以证明一定可以找到一种与该移动方法次数相同的，且牌数不会变为负数的移动方法，就比如上面可以先进行第二次操作，再进行第一次操作即可得到一样的结果且操作合法。

代码

#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 110;
int n, avg;
int a[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        avg += a[i];
    }
    avg /= n;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        if (a[i] != avg) {
            ++ans;
            a[i + 1] -= avg - a[i];
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

参考

• 七夕可以不过，算法必须要学
• 《ErikTse洛谷带刷100题》题单和题解