【动态规划】最小路径和

题目

64. 最小路径和

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给定一个包含非负整数的 m $\times$ n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

**说明：**每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

解题

方法一：动态规划

思路

经典的动态规划问题：

• 状态定义：$dp[i][j]$ 表示从 $(0, 0)$ 走到 $(i, j)$ 时的最小路径和。
• 状态转移方程：$dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]$。
• 初始状态：$dp$ 数组的第一行和第一列为矩阵第一行和第一列的前缀和数组。

那么从左上到右下的最小路径和为 $dp[m - 1][n - 1]$。

代码

class Solution {
    static final int INF = 0x3f3f3f3f;

    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        for (int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}