【数学】质数排列

题目

1175. 质数排列

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请你帮忙给从 1 到 n 的数设计排列方案，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 1 开始）上；你需要返回可能的方案总数。

让我们一起来回顾一下「质数」：质数一定是大于 1 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来表示。

由于答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod 10^9 + 7 之后的结果即可。

示例 1：

输入：n = 5
输出：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个有效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种情况里质数 5 被错误地放在索引为 1 的位置上。

示例 2：

输入：n = 100
输出：682289015

提示：

• 1 <= n <= 100

解题

方法一： 哈希表

思路

求符合条件的方案数，使得所有质数都放在质数索引上，所有合数放在合数索引上，质数放置和合数放置是相互独立的，总的方案数即为「所有质数都放在质数索引上的方案数」$\times$「所有合数都放在合数索引上的方案数」。求「所有质数都放在质数索引上的方案数」，即求质数个数的阶乘，「所有合数都放在合数索引上的方案数」同理。

代码

class Solution {
    private static final int MOD = (int) 1e9+7;

    public int numPrimeArrangements(int n) {
        int primeCnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (isPrime(i)) primeCnt++;
        }
        return (int) (factorial(primeCnt) * factorial(n - primeCnt) % MOD);
    }

    private boolean isPrime(int num) {
        if (num < 2) return false;
        for (int mod = 2; mod * mod <= num; mod++) {
            if (num % mod == 0) return false;
        }
        return true;
    }

    private long factorial(int num) {
        long product = 1;
        for (int i = 2; i <= num; i++) {
            product = product * i % MOD;
        }
        return product;
    }
}