【区间DP】石子合并

题目

282. 石子合并

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设有 $N$ 堆石子排成一排，其编号为 $1，2，3，…，N$ 。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 $N$ 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 $4$ 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 $1、2$ 堆，代价为 $4$ ，得到 4 5 2， 又合并 $1，2$ 堆，代价为 $9$ ，得到 9 2 ，再合并得到 $11$ ，总代价为 $4+9+11=24$ ；

如果第二步是先合并 $2，3$ 堆，则代价为 $7$ ，得到 4 7，最后一次合并代价为 $11$ ，总代价为 $4+7+11=22$ 。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 $N$ 表示石子的堆数 $N$ 。

第二行 $N$ 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 $1000$ )。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1 \le N \le 300$

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

解题

方法一：动态规划

思路

思维过程：

动态规划：

• 状态定义：$dp[i][j]$ 表示把第 $i$ 石子到第 $j$ 堆石子合并成一堆的所有方式中所用的最小代价。

• 状态转移方程：$dp[i][j] = \min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + \sum_{x=i}^{j}{a[x]})$

• 初始状态：进行第一次状态转移前，没有任何两堆或两堆以上的石子被合并过，所以合并它们的代价应为正无穷，而单堆石子不需要合并，所以合并它们的代价应为 $0$。也就是说：

  • $dp[i][j] = +\infin$ （$i = 1 \dots n - 1,j = 2 \dots n, j - i \ge 1$）
  • $dp[i][i] = 0$ （$i = 1 \dots n$）

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static final int INF = 0x3f3f3f3f;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        int[] s = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            in.nextToken();
            s[i] = s[i - 1] + (int) in.nval;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        for (int len = 2; len <= n; ++len) {
            for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
                int j = i + len - 1;
                dp[i][j] = INF;
                for (int k = i; k < j; ++k) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[1][n]);
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 310, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int s[N], dp[N][N];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        s[i] = x + s[i - 1];
    }
    for (int len = 2; len <= n; ++len) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; ++i) {
            int j = i + len - 1;
            dp[i][j] = INF;
            for (int k = i; k < j; ++k) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[1][n]);
    
    return 0;
}