【线性DP】开心的金明

题目

426. 开心的金明 - AcWing题库

P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明

试题 算法提高 开心的金明

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金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。

更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。

今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。

于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1 \sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。

他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。

他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$ ，重要度为 $w[j]$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1，j_2，…，j_k$ ，则所求的总和为：

$$v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+…+v[j_k] \times w[j_k]$$

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

输入文件的第 $1$ 行，为两个正整数 $N$ 和 $m$ ，用一个空格隔开。（其中 $N$ 表示总钱数， $m$ 为希望购买物品的个数）

从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为 $j-1$ 的物品的基本数据，每行有 $2$ 个非负整数 $v$ 和 $p$ 。（其中 $v$ 表示该物品的价格， $p$ 表示该物品的重要度）

输出格式

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（数据保证结果不超过 $10^8$ ）。

数据范围

$1 \le N < 30000$ ,
$1 \le m < 25$ ,
$0 \le v \le 10000$ ,
$1 \le p \le 5$

输入样例：

1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

输出样例：

3900

解题

方法一：线性DP - 01背包模型

思路

把限定的钱数 $N$ 看作背包容量， $m$ 个物品中：第 $i$ 种物品的价格 $v[i]$ 看作体积， $v[i] \times p[i]$ 看作价值。此时这题就变为了 01背包问题的裸题，直接上01背包问题模板。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken(); int n = (int) in.nval;
        in.nextToken(); int m = (int) in.nval;
        int[] f = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            in.nextToken(); int v = (int) in.nval;
            in.nextToken(); int p = (int) in.nval;
            for (int j = n; j >= v; --j) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j - v] + v * p);
            }
        }
        System.out.println(f[n]);
    }
}