【动态规划, LCS】最长公共子序列

题目

1143. 最长公共子序列

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给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

• 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
• text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

解题

方法一：动态规划

思路

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

假设字符串 text1 和 text2 的长度分别为 m 和 n，创建 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 text1[0:i] 和 text2[0:j] 的最长公共子序列的长度。

$arr[a:b]$ 表示数组 $arr$ 里在区间 $[a, b)$ 中的元素。

考虑动态规划的边界情况：

• 当 i == 0 时，text1[0:i] 为空，空字符串和任何字符串的最长公共子序列长度的都是 0，因此对任意 $0 \le j \le n$，有 dp[0][j] = 0。
• 当 j == 0 时，text2[0:j] 为空，同理对任意 $0 \le i \le m$，有 dp[i][0] = 0。

因此动态规划的边界情况是：当 i == 0 || j == 0，dp[i][j] = 0。

当 $i < 0 \le m$ 且 $0 < j \le n$ 时，考虑 dp[i][j] 的计算：

• 当 text1[i-1] == text2[j-1] 时，将这两个相同字符称为公共字符，考虑 text1[0:i-1] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列，再增加一个字符(即公共字符)即可得到 text1[0:i] 和 text2[0:j] 的最长公共子序列，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

• 当 text1[i-1] != text2[j-1] 时，考虑以下两项：

  • text1[0:i-1] 和 text2[0:j] 的最长公共子序列。
  • text1[0:i] 和 text2[0:j-1] 的最长公共子序列。

  要得到 text1[0:i] 和 text2[0:j] 的最长公共子序列，应取两项中长度较大的一项，因此 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

由此可以得到状态转移方程：

$$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] + 1, & text_1[i-1]=text_2[j-1] \\ max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), & text_1[i-1] \ne text_2[j-1] \end{cases}$$

最终计算得到 dp[m][n] 即为 text1 和 text2 的最长公共子序列的长度。

参考：最长公共子序列

代码

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        char[] chs1 = text1.toCharArray(), chs2 = text2.toCharArray();
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            char c1 = chs1[i - 1];
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                char c2 = chs2[j - 1];
                if (c1 == c2) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int dp[m + 1][n + 1];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            const char& c1 = text1[i - 1];
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (c1 == text2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};