【数学】消失的两个数字

题目

面试题 17.19. 消失的两个数字

---

给定一个数组，包含从 1 到 N 所有的整数，但其中缺了两个数字。你能在 O(N) 时间内只用 O(1) 的空间找到它们吗？

以任意顺序返回这两个数字均可。

示例 1:

输入: [1]
输出: [2,3]

示例 2:

输入: [2,3]
输出: [1,4]

提示：

• nums.length <= 30000

解题

方法一：数学

思路

由题意：设缺失的两个数分别为 $x$ 、$y$ ($x<y$)，给定数组 nums 长度为 $m$ 且缺少了 $2$ 个数，那么完整数组的长度 $n=m+2$ 其中的元素为 $1 \sim n$。

根据 $1 \sim n$ 的求和公式可得完整数组中所有数之和为 $full=\frac{n \times {n+1}}{2}$ ，而现有数组 nums 中数之和为 $total = \sum_{i=0}^{m-1}{nums[i]}$ ，那缺失两数之和 $twoSum = x+y = full - total$，这时求出其中一个缺失的数另一个数也可求得。

而完整数组中每个数均不相同，也就是说 (令 $lower = \lfloor \frac{twoSum}{2} \rfloor$)：$x < lower$ 且 $y > lower$ 。
那么我们就可以求出 $1\sim lower$ 的和，再拿它减去 $\sum_{i=0}^{k(nums[k]<=lower)}nums[i]$ 就能得到较小的一个缺失的数(x)，剩下的 $y=twoSum-x$。

于是返回 ${x, twoSum - x}$。

参考：【宫水三叶】简单数学运用题 - 消失的两个数字

代码

class Solution {
    public int[] missingTwo(int[] nums) {
        int n = nums.length + 2;
        int full = n * (n + 1) / 2, total = 0;
        for (int num : nums) total += num;
        int twoSum = full - total, lower = twoSum / 2;
        int x = lower * (lower + 1) / 2;
        for (int num : nums) {
            if (num <= lower) x -= num;
        }
        return new int[]{x, twoSum - x};
    }
}

class Solution {
public:
    vector<int> missingTwo(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size() + 2;
        int full = n * (n + 1) / 2, total = 0;
        for (int& num : nums) total += num;
        int two_sum = full - total, lower = two_sum / 2;
        int x = lower * (lower + 1) / 2;
        for (int& num : nums) {
            if (num <= lower) x -= num;
        }
        return {x, two_sum - x};
    }
};

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(1)$