【图, DFS, 并查集】省份数量

题目

有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。

省份是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。

给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。

返回矩阵中省份的数量。

示例 1：

输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
输出：2

示例 2：

输入：isConnected = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
输出：3

提示：

1 <= n <= 200
n == isConnected.length
n == isConnected[i].length
isConnected[i][j] 为 1 或 0
isConnected[i][i] == 1
isConnected[i][j] == isConnected[j][i]

解题

方法一：DFS

思路

遍历所有城市，对于每个城市，如果该城市尚未被访问过，则从该城市开始深度优先搜索，通过矩阵 isConnected 得到与该城市直接相连的城市有哪些，这些城市和该城市属于同一个连通分量，然后对这些城市继续深度优先搜索，直到同一个连通分量的所有城市都被访问到，即可得到一个省份。遍历完全部城市以后，即可得到连通分量的总数，即省份的总数。

代码

class Solution {
    private int cities;
    private boolean[] visited;
    private int provinces = 0;

    public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
        cities = isConnected.length;
        visited = new boolean[cities];

        for (int i = 0; i < cities; i++) {
            if (visited[i]) continue;
            dfs(i, isConnected);
            provinces++;
        }

        return provinces;
    }

    public void dfs(int i, int[][] isConnected) {
        for (int j = 0; j < cities; j++) {
            if (visited[j] || isConnected[i][j] == 0) continue;
            visited[j] = true;
            dfs(j, isConnected);
        }
    }
}

方法二：并查集

思路

图的连通分量：

无向图G的极大连通子图称为G的连通分量( Connected Component)。任何连通图的连通分量只有一个，即是其自身，非连通的无向图有多个连通分量。
简单举例来说：

该图连通分量为 1

该图连通分量为 3

并查集的基本概念（借鉴）：

并查集是一种数据结构。
并查集这三个字，一个字代表一个意思：
- 并(Union): 合并
- 查(Find): 查找
- 集(Set): 这是一个以字典为基础的数据结构，它的基本功能是合并集合中的元素，查找集合中的元素
并查集的典型应用是有关连通分量的问题。
并查集解决单个问题（添加，合并，查找）的时间复杂度都是 $O(1)$。
因此，并查集可以应用到在线算法中。

并查集的实现：

// 并查集跟树有些类似，只不过它跟树是相反的。
// 在树中，每个节点会记录它的子节点。
// 而在并查集中，每个节点会记录它的父节点。
class UnionFind {
    private Map<Integer,Integer> nodeToRoot;

    public UnionFind() {
        nodeToRoot = new HashMap<Integer, Integer>();
    }
    // 初始化
    // 当把一个新节点添加到并查集中，它的父节点应该为空
    public void add(int x) {
        if (!nodeToRoot.containsKey(x)) nodeToRoot.put(x, null);
    }
    // 如果发现两个节点是连通的，那么就要把他们合并，也就是他们的祖先是相同的。
    // 这里究竟把谁当做父节点一般是没有区别的。
    public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP != rootQ) nodeToRoot.put(rootP, rootQ);
    }
    // 查找祖先，如果祖先不是初始化的 null 就一直迭代
    public int find(int n) {
        while (nodeToRoot.get(n) != null) {
            nodeToRoot.put(n, find(nodeToRoot.get(n)));
            n = nodeToRoot.get(n);
        }
        return n;
    }
}

故本期其实就是求 isConnected 这个邻接矩阵表示的图的连通分量为多少，很适合用并查集直接求解。已经知道了节点的数量 isConnected.length 就可以使用数组代替字典实现并查集。

代码

class Solution {
    private int[] nodeToRoot;

    public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
        int cities = isConnected.length;
        nodeToRoot = new int[cities];
        for (int i = 0; i < cities; i++) nodeToRoot[i] = i;
        for (int i = 0; i < cities; i++) {
            for (int j = i + 1; j < cities; j++) {
                if (isConnected[i][j] == 1) union(i, j);
            }
        }
        int provinces = 0;
        for (int i = 0; i < cities; i++) {
            if (i == nodeToRoot[i]) provinces++;
        }
        return provinces;
    }

    private void union(int p, int q) {
        nodeToRoot[find(p)] = find(q);
    }

    private int find(int n) {
        if (n != nodeToRoot[n]) nodeToRoot[n] = find(nodeToRoot[n]);
        return nodeToRoot[n];
    }
}

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