【前缀和, 二分查找】按权重随机选择

题目

528. 按权重随机选择

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给你一个 下标从 0 开始 的正整数数组 w ，其中 w[i] 代表第 i 个下标的权重。

请你实现一个函数 pickIndex ，它可以 随机地 从范围 [0, w.length - 1] 内（含 0 和 w.length - 1）选出并返回一个下标。选取下标 i 的 概率 为 w[i] / sum(w) 。

• 例如，对于 w = [1, 3]，挑选下标 0 的概率为 1 / (1 + 3) = 0.25 （即，25%），而选取下标 1 的概率为 3 / (1 + 3) = 0.75（即，75%）。

示例 1：

输入：
["Solution","pickIndex"]
[[[1]],[]]
输出：
[null,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1]);
solution.pickIndex(); // 返回 0，因为数组中只有一个元素，所以唯一的选择是返回下标 0。

示例 2：

输入：
["Solution","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex","pickIndex"]
[[[1,3]],[],[],[],[],[]]
输出：
[null,1,1,1,1,0]
解释：
Solution solution = new Solution([1, 3]);
solution.pickIndex(); // 返回 1，返回下标 1，返回该下标概率为 3/4 。
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 1
solution.pickIndex(); // 返回 0，返回下标 0，返回该下标概率为 1/4 。

由于这是一个随机问题，允许多个答案，因此下列输出都可以被认为是正确的:
[null,1,1,1,1,0]
[null,1,1,1,1,1]
[null,1,1,1,0,0]
[null,1,1,1,0,1]
[null,1,0,1,0,0]
......
诸若此类。

提示：

• 1 <= w.length <= 10^4
• 1 <= w[i] <= 10^5
• pickIndex 将被调用不超过 10^4 次

解题

方法一：前缀和 二分查找

思路

我们假设现有 w = [1, 3, 2, 1]，那么根据题意，每个索引被选到的概率分别是 $[\frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}]$。

如图所示，我们使用前缀和来抽象的表示索引被选中的概率，那么：

• 当随机数在 $[1, 1]$ 时，选到了索引 $0$。
• 当随机数在 $[2, 4]$ 时，选到了索引 $1$。
• 当随机数在 $[5, 6]$ 时，选到了索引 $2$。
• 当随机数在 $[7, 7]$ 时，选到了索引 $3$。

所以我们应该在 $[1,7]$ 的范围内随机，然后查找前缀和数组中**大于等于**随机数的索引，把得到的索引减一就是应该返回的数字。

参考：带权重的随机选择算法 - labuladong的算法小抄

代码

class Solution {
    Random rand;
    int[] prefSums;
    int n, last;

    public Solution(int[] w) {
        rand = new Random();
        n = w.length;
        prefSums = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            prefSums[i] = prefSums[i - 1] + w[i - 1];
        }
        last = prefSums[n];
        ++n;
    }
    
    public int pickIndex() {
        return leftBound(rand.nextInt(last) + 1) - 1;
    }

    int leftBound(int target) {
        int left = 0, right = n;
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (prefSums[mid] >= target) right = mid;
            else left = mid + 1; 
        }
        return left;
    }
}