【归并排序】逆序对的数量

题目

788. 逆序对的数量

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给定一个长度为 $n$ 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 $i$ 个和第 $j$ 个元素，如果满足 $i < j$ 且 $a[i] > a[j]$，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式

第一行包含整数 $n$，表示数列的长度。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整个数列。

输出格式

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围

$1 \le n \le 100000$，
数列中的元素的取值范围 $[1,10^9]$。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

解题

方法一：分治 归并排序

思路

归并排序。

首先我们认为 merge_sort(l, r) 这个函数能把序列 $[l, r]$ 区间排好序并返回排序前逆序对的数量。
考虑分治，将所有逆序对分为三种情况：

1. 左半边内部的逆序对数量：merge_sort(l, mid)。

2. 右半边内部的逆序对数量：merge_sort(mid + 1, r)。

3. 分别在左右两边的逆序对：

   设在归并时，$i \in [l, mid], j \in [mid + 1, r]$，那么对于右半边中的每个元素(nums[j])，左半边元素(nums[i])中大于它的数的数量就是它能形成的逆序对的数量，记作 $S_j$。也就是说，当 $nums[i] > nums[j]$ 时，$S_j = mid - i + 1$。

代码

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    static int[] nums, tmp;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        in.nextToken();
        int n = (int) in.nval;
        nums = new int[n];
        tmp = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            in.nextToken();
            nums[i] = (int) in.nval;
        }
        System.out.println(mergeSort(0, n - 1));
    }
    
    static long mergeSort(int l, int r) {
        if (l >= r) return 0L;
        int mid = l + r >> 1;
        long cnt = mergeSort(l, mid) + mergeSort(mid + 1, r);
        int i = l, j = mid + 1, k = 0;
        while (i <= mid && j <= r) {
            if (nums[i] <= nums[j]) tmp[k++] = nums[i++];
            else {
                tmp[k++] = nums[j++];
                cnt += mid - i + 1;
            }
        }
        while (i <= mid) tmp[k++] = nums[i++];
        while (j <= r) tmp[k++] = nums[j++];
        for (i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) nums[i] = tmp[j];
        return cnt;
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e5 + 10;
int n;
int q[N], tmp[N];

ll merge_sort(int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return 0L;
    int mid = l + r >> 1;
    ll cnt = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else {
            tmp[k++] = q[j++];
            cnt += mid - i + 1;
        }
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    for (i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) q[i] = tmp[j];
    return cnt;
}

int main () {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &q[i]);
    printf("%lld", merge_sort(q, 0, n - 1));
    
    return 0;
}

时间复杂度：$O(n)$。